Lei de distribuição de Maxwell-Boltzmann - Mecânica Estatística Clássica - Resumo, capítulo 10, Alonso & Finn

O número de diferentes maneiras para obter a partição n₁, n₂, n₃,... é obtido multiplicando as probabilidades de cada distribuição, ou seja, multiplicando as expressões anteriores e subsequentes. Logo, a probabilidade desta partição é

Cancelando alguns termos de cima (numerador) com alguns do denominador, enxugamos a expressão acima e temos: 

Se um estado tem uma probabilidade intrínseca g_i de ser ocupado, a probabilidade de ter uma partícula no estado E_i é g_i, de ter duas é g_i², de ter três é g_i³, e assim de ter n_i será g_iⁿⁱ. Logo a probabilidade da partição é 

Finalmente, se as partículas forem indistinguíveis temos que dividir nosso resultado por N! permutações que consideramos inicialmente. Então ficamos com: 

Essa expressão é a probabilidade de uma distribuição de Maxwell-Boltzmann.

 Referência

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física um curso universitário. Vol 3. Ed. Edgar Blucher.

Lei de distribuição de Boltzmann - Mecânica Estatística Clássica - Resumo, capítulo 10, Alonso & Finn

Consideremos um sistema composto por um grande número de partículas idênticas e distinguíveis (garanto que não é complicado entender isso). Representamos uma partição determinada n₁, n₂, n₃,... mediante ordenamento geométrico mostrado abaixo.

Cada linha representa um estado de energia particular E_i; o número de pontos indica o número n_i de partículas em cada estado. No exemplo acima, n₁=3, n₂=0, n₃=2, n₄=1 etc. nossa primeira suposição é que todos os estados são igualmente acessíveis as partículas do sistema. Em consequência, todos os estados tem a mesma probabilidade de serem ocupados. Assim, a probabilidade de uma partição é proporcional ao número de maneiras diferentes em que as partículas podem se distribuir entre os estados para produzir a partição.

Vejamos então nosso exemplo da figura. Quantas maneiras diferentes de distribuição existem que dão essa partição?

Para começar o estado E₁, podemos escolher a primeira partícula entre as N partículas distinguíveis (vamos supor inicialmente que elas são distinguíveis). Então temos N modos de escolher.

Para a segunda partícula temos N-1 partículas disponíveis para escolher; para a terceira situação temos N-2. Logo o número total de maneiras diferentes para escolher as três partículas do nível E₁ é

Chamaremos de a, b e c as três partículas que foram escolhidas. A ordem de escolha dessas partículas não muda a partição. Logo as 3!=6 permutações que foram contadas como diferentes maneiras, na verdade não são e temos que dividir o número acima pelo fator 3! da seguinte forma:

Essa expressão pode ser estendida para todos os outros níveis. Para o nível E₂ temos agora N-n₁ partículas. Assim o número de diferentes maneiras de preencher o nível E₂ é 

 Referência
ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física um curso universitário. Vol 3. Ed. Edgar Blucher.

Equilíbrio Estatístico - Mecânica Estatística Clássica - Resumo, capítulo 10, Alonso & Finn

Equilíbrio Estatístico

Consideremos um sistema composto por um grande numero N de partículas e cada partícula está em um certo estado de energia que pode ser E₁, E₂, E₃, ... Os estados de energia não precisam ser quantizados. Em um instante dado as partícula estão distribuídas entre os diferentes estados de modo que n₁ partículas estão no estado E₁, n₂ partículas no estado E₂, n₃ no estado E₃ e assim sucessivamente. O número total de partículas é

Suponhamos que N permanece constante durante os processos. Chamamos a distribuição n₁, n₂, n₃,... de partição. A energia total do sistema é

Em geral a energia de interação é dada em termos dos pares de partículas. Cada termo inclui as coordenadas de ambas as partículas interagentes. No caso da Mecânica Estatística Clássica não podemos falar da energia de interação de cada partícula, mas sim da energia total do sistema.

Para sistemas com grande número de partículas e em condições especiais podemos considerar as interações por meio de um campo médio, em que se considera que cada partícula está sujeita a uma interação média devido as outras partículas, tendo uma energia potencial média que só depende de suas coordenadas. Podemos neste caso escrever U de forma que

Onde E_i é a energia total, E_ci a energia cinética e E_pi a energia potencial média.

Se o sistema está isolado, U permanece constante. Mas a distribuição das partículas nos estados de energia disponíveis pode mudar devido às interações, ou seja, a partição pode mudar mesmo para um sistema isolado.

Podemos dizer que dadas às condições físicas do sistema, como o número de partícula e a energia total, existe uma partição mais provável. Uma vez alcançada esta partição dizemos que o sistema está em equilíbrio estatístico. Um sistema em equilíbrio estatístico continuará assim a menos que seja perturbado por um agente externo. 

Referência

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física um curso universitário. Vol 3. Ed. Edgar Blucher.

Introdução - Mecânica Estatística Clássica - Resumo, capítulo 10, Alonso & Finn

Introdução

Sabemos que a matéria é formada por moléculas e átomos. Mas não podemos observa-los individualmente em ação. O que observamos é o resultado de um grande número deles atuando de maneira mais ou menos organizada, ou seja, processos macroscópicos.

As propriedades da matéria, como um todo, são chamadas propriedades macroscópicas, que são resultados de ações coletivas. Essas ações resultam fundamentalmente das interações eletromagnéticas. Foi necessário estabelecer métodos especiais para descrever os processos que ocorrem com um grande numero de partículas. Estes métodos para estudar essas propriedades coletivas sem se preocupar com o movimento individual de cada partícula são de natureza estatística. Assim, os estudos de processos macroscópicos é o que constitui a física estatística.

A mecânica é baseada em princípios como conservação de energia e momento. A mecânica estatística estende estes conceitos para sistemas com grande numero de partículas e utiliza métodos para descrever propriedades macroscópicas sem considerar o movimento detalhado de cada partícula.

Para fazer a analise estatística da dinâmica do sistema de muitas partículas usamos o conceito de probabilidade de distribuição das partículas nos estados de energia possíveis.

Referência

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física um curso universitário. Vol 3. Ed. Edgar Blucher.